研究部門の業績

コンピュータ実験科学研究部門
Computer Assisted Science Division

1　部門スタッフ

教授　小田中 紳二
略歴：1978年3月京都大学工学部数理工学科卒業、1980年3月京都大学大学院工学研究科博士前期課程数理工学専攻修了。同年4月松下電器産業株式会社入社、同半導体研究センターを経て、1997年4月松下電子工業株式会社プロセス開発センター室長、2000年4月より、大阪大学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科学研究部門教授。大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。IEEE(Senior member)、電子情報通信学会、応用物理学会各会員。工学博士（京都大学）
助教授　降旗 大介
略歴：1990年3月東京大学工学部物理工学科卒業、1992年3月東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻修士課程修了。同年4月東京大学工学部物理工学科助手を経て、1997年4月より京都大学数理解析研究所助手、2001年4月より大阪大学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科学部門講師。2002年4月より同部門助教授。大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。日本数学会、日本応用数理学会各会員。

2　教育および教育支援業績

(1)以下の学内講義を担当した。本年度は、理学部共通の計算機を利用した科目として、サイバーメディアセンターと理学部とが協力して、数値計算法基礎を新たに開講した。
  1. 共通教育・情報教育科目
    情報活用基礎（降旗）
    数学B （降旗）
  2. 理学部専門科目
    数値計算法基礎 （理学部共通、小田中）
    応用数理学7 （数学科、降旗）
    数学研究b（数学科、小田中、降旗）
  3. 大学院理学研究科科目
    実験数学概論（数学専攻、小田中）
    応用数理学特論I （数学専攻、 降旗）
  4. 大学院情報科学研究科科目
    コンピュータ実験数学続論（情報基礎数学専攻、小田中）
    計算数学基礎I （情報基礎数学専攻、降旗）

3　研究概要

　地球環境、情報、生命、ナノテクノロジーなどの科学技術分野において、様々な数理モデルが展開し、コンピュータシミュレーションを通して、その理解を深め、新たな知見を得る試みが大きく進展している。このため、数学的に基礎付けられた計算モデルの構築や数学的手法によるモデル階層を明らかにすることが益々重要になっている。また、このような過程は、新たな数学モデルを構成し、数学・数値解析と共に数値計算手法やアルゴリズムを構築する機会でもあり、いわゆる“応用数学”を発展させる機会である。
　コンピュータ実験科学研究部門は、非線形偏微分方程式に基づく数理モデルや計算モデルの構成を中心にして、コンピュータシミュレーションの理論的基礎を築く計算数学・数値解析の研究、その応用として大規模コンピュータシミュレーション技術に関する研究を体系的に進めている研究部門である。
　現在の主な研究テーマは、半導体輸送の数理モデルに関する研究、量子流体方程式の数値解析に関する研究、半導体のシミュレーション手法とその応用に関する研究、偏微分方程式の保存・散逸則を再現する数値計算法に関する研究，変分原理に基づく蛇行流問題の数理モデルに関する研究，数値計算法の安定性を生かした数理アルゴリズムの開発である。

4　2005年度研究業績

4.1 半導体輸送の数理モデルに関する研究

　半導体輸送の研究は半導体物理の中心的課題であると共に、産業界においては、集積回路システムを構成する機能素子や記憶素子の性能に深く関係付けられる。そのため、半導体輸送のシミュレーションは、半導体産業においては、大規模数値シミュレーションによる設計技術(Computer-Aided Design)として重要な課題でもある。半導体輸送の数理モデルに関する研究を、文部科学省21世紀COEプログラム　“究極と統合の新しい基礎科学”（2003～2006年度）（第3班　原理の追求）の中で進めている。
　数nmまで微細化が展望される極微構造においては、半導体輸送は“解析と物性”に対して新たな基礎科学の問題を提起している。すなわち、１．情報伝達の素過程（固体素子）を見るよい実験場であり、２．場（静電場、電磁場など）におけるナノフローとしての現象であり、３.　輸送や流れの数学解析・数値解析の研究課題の必要性を提起している。極低温下におけるAnderson局在などの電子の量子輸送現象は、不規則系における輸送問題として、小谷らの基礎的な数学解析の研究が進められている。また、室温下（高温下）における半導体輸送は、多体系のモデリングを基礎にし、Boltzmann輸送から流体モデルを導出して、大規模数値シミュレーションが行われている。このアプローチは、Boltzmann方程式の流体表現としてそのモデル階層を調べる松村らの数学解析とも密接に関係付けられる。
　極微構造においては、室温下においても量子性をどのようにモデル化するかが新たな課題であり、Schrodinger方程式の流体表現として、量子流体方程式を導出することができる。量子流体方程式は階層的モデル構造を有しており、今だその構造解明は十分ではなく、数学的にも物理的にも興味深い問題を提起する。
　量子ドリフト-拡散方程式系の境界値問題における解写像を構成して、その弱解の存在と微小バイアス下における写像の縮小性を証明した。このとき、解写像の構成は、解の存在証明に重要な役割を果すだけではなく、量子ドリフト-拡散方程式系の新たな反復解法アルゴリズムを提供する。

4.2 量子流体方程式の数値解析に関する研究

　現在、定常・非定常状態における量子ドリフト-拡散方程式系の数学解析および数値解析にかかわる研究成果から数値解法及び数値スキームを構成する研究を進めている。このような問題を数値シミュレーションするには、単に理論を応用するだけではなく、数学的側面と物理的側面から新たなことを追加して数値解法及び数値スキームを構成することが必要となる。
　量子ドリフト-拡散方程式系はエントロピー散逸構造を有している。ポテンシャルと密度の関係（近似的にはBoltzmann統計）に着目して、エントロピー散逸性を保持した高精度な非線形差分スキームを構成した。時間離散化に対しては、Implicitスキームを適用し、境界が熱平衡状態にある場合、半離散化フォームはエントロピー散逸性（自由エネルギーのLyapunov性）を示すことを証明した。
　また、ナノ領域FETにおける量子閉じ込め輸送をシミュレーションするためには、量子境界層の電子分布を精度よく計算する必要がある。この問題は今だ十分には議論されていないが、流体モデルにおけるショック波を高解像度に再現する数値スキームの概念を展開して、低精度と高精度な非線形差分スキームから高解像度スキームを構成する数値計算手法を新たに開発した。この数値スキームがMOSFETにおける量子閉じ込め輸送シミュレーションに効果的であることを示した。

4.3 偏微分方程式の保存・散逸則を再現する数値計算法に関する研究

　応用数理学、社会学、生命学等の様々な研究分野におけるこれまでの研究の結果、非線型性の本質的な重要性が認識されつつある。こうした中、コンピュータ実験科学部門では複雑な現象を記述する非線形高階偏微分方程式の非線型性を本質的にとらえたまま計算する数値計算法の研究を行っている。
　非線型偏微分方程式を数値的に計算しようとする場合は通常は（非）線形安定性解析に基づいて離散パラメータを制御する。しかし、パラメータ制御による手法が本質的に無効である場合も少なくない。
　そこでわれわれは非線型偏微分方程式の多くはエネルギー保存性や組成保存性などの保存則や散逸則を要請されるものが多いことに着目し、それらを厳密に満たすように計算手法を構成する方法論をとる。同様の方法論にEnergy method や TotalVolume、Symplectic スキームなどが知られているが、適用範囲は限られており、新しい方法論が常に必要とされている。そこで、偏微分方程式解に対する Lyapunov 関数を離散的に構成するアイディアに基づいて離散変分法というスキーム構成法を提案した。
　この研究は徐々に深まりつつあり、適用範囲は Hamilton 系を含むエネルギー保存系や Fujita-type 爆発問題系、粘菌の挙動を記述する Keller-Segel 系などの連立偏微分方程式系、非線形 Schroedinger 問題などの複素問題等をはじめ、非線型長波長近似方程式として近年提唱された Bao-Feng Feng 方程式、regularized long wave 方程式やパターン形成問題のモデル方程式として知られる Swift-Hohenberg 方程式や非線型 Klein-Gordon 方程式、 extended Fisher-Kolmorov 方程式、エルゴード性を調べるために用いられた Fermi-Pasta-Ulam 方程式など、多岐に渡っている。
　さらに、スペクトル法などのより一般化された離散化概念を用いることも可能であることも判明し、より抽象的な概念に結び付く可能性を示唆している。また、Cahn--Hilliard 方程式や Eguchi--Oki--Matsumura 方程式、 Allen-Cahn 方程式、 さらに Bao-Feng Feng 方程式、 regularized long wave 方程式、 extended Fisher-Kolmogorov 方程式などのいくつかの方程式に対しては導出された差分スキームの安定性、解の一意存在性、収束性等を数学的な証明を与えた。
さらに、非線形性が多項式で表現されるような場合は time-multistage 化と呼ばれる手法により非線形性のオーダを下げられることに注目し、離散変分法と組み合わせることにより、安定かつ線型な差分スキームを構成できる可能性があることを見いだした。 Time-multistage 化は非常に強い数値不安定性を伴うため通常は利用できないが、離散変分法のもたらす安定化効果の方が支配的な差分スキームを構成できれば、安定性と線形性の両方が同時に実現できるのである。 このアイディアに基づき、先にあげた Cahn-Hilliad 方程式や Eguchi-Oki-Matsumura 方程式、Bao-Feng Feng 方程式、 regularized long wave 方程式、Swift-Hohenberg 方程式に対して実際に線型かつ無条件安定な差分スキームを構成し、その性質を数学的に証明することにも成功した。
以上の結果はこの手法の有効性を具体的に示すものであり、これからの研究が待たれる。

4.4 変分原理に基づく蛇行流問題の数理モデルに関する研究

　河川工学、流体輸送などの分野において、流体の蛇行の理解、制御は非常に重要な問題であるため、これまで多くの研究がある。 これらは、実測/実験によるデータ収集をはじめとして、侵食/堆積を中心とした素過程を数式化することによる数理モデリングや、これらの素過程を積分した結果をCellular-Automata に基づいて構成した数理モデリングなどがあり、これらのモデリングに基づいた数値計算結果との比較なども良好な結果を示している。
しかし、これまでの実験で、堆積過程の存在しない氷河上や、侵食過程と堆積過程との両方が存在しないガラス表面上でも流体が蛇行することが確かめられている。 これは、これまでの数理モデルが根本的に適用できない状況においても流体の蛇行現象が起きることを意味する。 つまり、蛇行現象はこれまでの「侵食/堆積といった素過程を積み重ねる」ことのみによって理解出来る現象ではなく、より大きな共通構造を数理的にモデリングする必要があることをこの事実は示唆している。 人工的な流体輸送においても侵食/堆積といった素過程は存在しない場合があるため、この共通構造の理解は実用面からも要求される大きな課題である。
　この現状に対し、素過程を積み重ねるという粒度の細かい議論ではなく、系の自由エネルギーの変化に伴う現象であるという粒度の大きな議論を行うことで数理モデリングを構成し、解析する研究を行っている。 これは、局所自由エネルギーが流体の速度と加速度に依存するとし、速度に依存する項が極小点をもち、かつ、加速度に対しては単調に増加する項をもつという系を考え、この系の全自由エネルギーが単調に減少するような自然な偏微分方程式系を想定することで数学的に非常に自然に行える。 これにより、系の時間発展に伴うエネルギー変化が自然に導出できるとともに、その局所的変動により応力の発生などが計算できるという利点がある。 そして、このモデリングによる計算モデルの構築を行い、その計算結果の解析に取り組んだ結果、妥当な計算結果を得ることに成功し、当モデリングの妥当性を示すことができた。

4.5 数値計算法の安定性を生かした数理アルゴリズムの開発

上記で示した数値計算法が離散変分概念を主としていることを手がかりに、グラフ上で定義される最適化問題の一種に対して、離散変分法を適用できることを示した。これは、グラフ上の部分和分が行える条件を明らかにするとともに、最適化問題を適切にペナルティ法で緩和し、適切な時間発展問題で求解アルゴリズムを実装することによって問題を偏差分方程式とすることで可能となった。構築されたアルゴリズムは非常に素直なものであるが、不安定性が強く、通常の解法では実用的でない。しかし、本数値解法を用いることで安定な実装が可能となり、実用性を獲得するに至った。またこの成果は、問題を偏差分方程式に書き換えることで、数値解析分野における豊富な成果を利用することが可能とし、離散問題に対し、高速/省メモリな解法を提案する可能性を強く示唆する。この成果は、離散問題と連続問題の融合を図る一端ともなっており、その意味でも意義が高いと考える。

5　社会貢献に関する業績

5.1. 教育面における社会貢献

5.1.1 学外活動

5.2. 研究面における社会貢献

5.2.1 学会活動

（以上、小田中）
（以上、降旗）

5.3 産学連携

(1) 企業からの受託研究
“量子補正MOSモデルによるシミュレーション設計技術の研究”
（以上、小田中）

5.4 研究プロジェクト活動

現在、以下の研究プロジェクトに参画している。
(1) 文部科学省　科学研究費補助金　基礎研究(B)　“保存則系の粘性及び緩和モデルの時間大域解とその漸近挙動に関する研究”（2003～2006年度）　分担
(2) 文部科学省　21世紀COEプログラム　“究極と統合の新しい基礎科学”（2003～2006年度）（第3班　原理の追求）分担
（以上、小田中、降旗）
(3) 文部科学省　科学研究費補助金　基礎研究(B)　“樹木と土壌の相互作用による動的森林システムの数学的構造”（2004～2007年度）　分担
（以上、小田中）
(4) 文部科学省　科学研究費補助金 若手研究(B) “非線形偏微分方程式の大域的性質を保存する数値解法導出のための離散変分法の研究” （2003～2005年度） 研究代表者
(5) 文部科学省　科学研究費補助金 基盤研究(B)（一般）“力学系の保存性・安定性とその数値解析の研究”（2003～2005年度） 分担
(6) 文部科学省　科学研究費補助金 萌芽研究 “脈管形成の数理モデルに関する解析的研究” （2003～2005年度） 分担
（以上　降旗）

2005年度研究発表論文一覧

学会論文誌

口頭発表（国内研究会など）

(1) 小田中紳二, “量子閉じ込め輸送の高解像度シミュレーション手法”応用物理学会2005年度年会, 2006年3月
(2) 小田中紳二，“A numerical scheme for quantum hydrodynamics in a semiconductor,” 流体と気体の数学解析研究集会，数理解析研究所，京都大学、p.8-11, 2005年7月
(3) 小田中紳二， “半導体シミュレーションと数理工学”, 数理工学シンポジウム, 京都大学，2006年1月
(4) 小田中紳二, “半導体における量子流体の数理とシミュレーション”，21世紀COE「究極と統合の新しい基礎科学」研究会、多体系・無限系と数学の前線，大阪大学，2005月11月
(5) 降旗 大介, “整数制約問題の差分法化”, 応用数理学会年会, 東北大学, 2005 年9 月
(6) 降旗 大介, “整数制約問題の差分法化”, 若手数学研究会, 岐阜大学, 2005 年9 月
(7) 降籏大介, “整数制約問題の差分法化-離散問題と数値解析の融合にむけて-“, 待兼山コロキウム, 大阪大学（大阪）, 2005 年10 月
(8) 降籏大介, “蛇行流現象に対する素過程に依らないモデリング”, 非線形現象数理解析研究会, 金沢大学, 2006 年2 月
(9) 降籏大介, “素過程に依らない蛇行流のモデリング”, 非線形テクノサイエンス講演会, 大阪, 2006 年3 月

解説・その他


2005年度特別研究報告・修士論文・博士論文

修士論文

(1) 島田知子, “非定常な量子ドリフト-拡散方程式の数値解析”
(2) 澤田 由紀, “Extended Fisher-Kolmogorov方程式の離散変分法による差分スキームの構成と数値解の解析”
(3) 小出 智志, “Nonlinear and linear conservative finite difference schemes for the regularized long wave equation”
(4) 田中 元太, “熱対流現象を記述するSwift-Hohenberg方程式の離散変分法による差分スキームの構成と数値解の解析”