研究部門の業績

コンピュータ実験科学研究部門
Computer Assisted Science Division


１．　部門スタッフ

教授　小田中紳二
略歴：1978年3月京都大学工学部数理工学科卒業、1980年3月京都大学大学院工学研究科博士前期課程数理工学専攻修了。同年4月松下電器産業株式会社入社、同半導体研究センターを経て、1997年4月松下電子工業株式会社プロセス開発センター室長、2000年4月より、大阪大学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科学研究部門教授。大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。IEEE(Senior member)、電子情報通信学会、応用物理学会各会員。工学博士（京都大学）

助教授　降旗大介
略歴：1990年3月東京大学工学部物理工学科卒業、1992年3月東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻修士課程修了。同年4月東京大学工学部物理工学科助手を経て、1997年4月より京都大学数理解析研究所助手、2001年4月より大阪大学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科学部門講師。2002年4月より同部門助教授。大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。日本数学会、日本応用数理学会各会員。

２．　教育および教育支援業績

(1)本年度は以下の学内講義を担当した。
  1. 共通教育・専門基礎教育科目
    線形代数学1, 2（小田中）
    共通教育・情報教育科目
    情報活用基礎 （降旗）
  2. 理学部専門科目
    応用数理学7 （数学科、降旗）
    数学研究b （数学科、降旗）
  3. 大学院理学研究科科目
    実験数学概論（数学専攻、小田中）
    応用数理学特論I （数学専攻、降旗）
  4. 大学院情報科学研究科科目
    計算数学続論（情報基礎数学専攻、小田中）
    計算数学要論 （情報基礎数学専攻、降旗）
(2)全学共通教育機構教務委員会委員及び同広報専門委員会委員長をつとめた。（小田中）

３．　研究概要

　地球環境、情報、生命、ナノテクノロジーなどの科学技術分野において、様々な数理モデルが展開し、コンピュータシミュレーションを通して、その理解を深め、新たな知見を得る試みが急速に進展している。このため、コンピュータシミュレーションの発展のためには、数学的に基礎付けされた計算モデルの構築や数学的手法によるモデル階層を明らかにすることが益々重要になっている。また、その過程は、新たな計算手法や数学アルゴリズム構築の機会でもある。
　コンピュータ実験科学研究部門は、非線形偏微分方程式に基づく数理モデルや計算モデルの構成を中心にして、コンピュータシミュレーションの理論的基礎を築く計算数学・数値解析の研究、その応用として大規模コンピュータシミュレーション技術に関する研究を体系的に進めている研究部門である。
　現在の研究テーマは、半導体輸送の数理モデルに関する研究、量子流体方程式の計算スキームに関する研究、ナノ領域FETのシミュレーション手法とその応用に関する研究、偏微分方程式の保存・散逸則を再現する数値計算法に関する研究、変分原理に基づく蛇行流問題の数理モデルに関する研究、である。

４．　2003年度研究業績

４．１　半導体輸送の数理モデルに関する研究

　情報伝達の素過程は、極微構造内の電子輸送の数理と深いかかわりがある。現在、集積回路システムを構成する固体素子は、CMOSと呼ばれるシリコンFET（電界効果トランジスタ）である。シリコンCMOS素子の消費エネルギー評価を行い、10nm領域における消費エネルギーは80kTであり、5nm領域において20kTに到達することが予測された。
　このことは、シリコンCMOS素子は、微細化に伴いその素子構造を変化させる必要があるが、10nm領域までFET機能実現が可能であり、集積システムを構成する固体素子の主たる役割を担うことが示唆される。sub-10nm領域においては、カーボンナノチューブトランジスタなどのいわゆる“フロンティア”デバイスも含めて、集積システムを構成する上で最適なナノ領域素子を見出していくことは重要な課題である。
　ナノ領域の固体素子の電子輸送は、マクロ的現象とメゾスコーピック的現象を有し、ボルツマン輸送的観点と量子輸送的観点の両面から数理モデル化が追及されており、物理的にも、数学的にも興味深い基礎科学の諸問題を提供している。
　近年、ナノ領域FETの電子輸送現象のモデル化において、量子流体方程式とその計算スキームの研究が精力的になされている。Single-state Schrodinger方程式の流体モデル表現として、Wigner変換によって得られるWigner-Boltzmann方程式を基に、0次モーメント積分から質量保存式が、1次モーメント積分から運動量保存式がそれぞれ導き出される。運動量保存式に運動量緩和時間近似の項を付加し、ストレステンソル項をプランク定数の2次オーダーまでを評価することによって、量子流体方程式が導出される。量子流体方程式は階層的モデル構造を有するが、数学的アプローチによるその構造を明らかにする研究は十分ではない。
　現在、定常状態における境界値問題に対するWell-posednessを調べ、解写像の構成方法を検討して、計算モデル構築を進めている。

４．２　量子流体方程式の計算スキームに関する研究

　量子ドリフト-拡散モデルは、量子流体方程式の階層において、もっとも基本的であり、実用化において重要なモデルである。このモデルは、量子閉じ込め電子輸送やトンネル電流の挙動を記述するのに適した物理モデルであり、次世代半導体素子設計モデルとしても重要になっている。この方程式は4階非線形偏微分方程式であり、数値シミュレーションにおける問題点が指摘されている。
　4階量子ドリフト-拡散方程式の混合境界値問題に対し、非線形2階Sturm-Liouville型方程式と化学ポテンシャルに対する2階連続方程式に分離し、離散化する手法を新たに開発した。
　非線形2階Sturm-Liouville型方程式の離散化に対しては、Tikhonov-Samarskiiタイプの保存スキームに、Exponential-fitting法を適用して高精度化をはかった。この計算スキームは、古典的ドリフト-拡散方程式に対して開発されたGummel-Scharfetterスキームの一般化自己共役型境界値問題に対する拡張になっている。このため、多次元差分スキームの構成には、有限体積法の適用も可能である。また、この計算スキームの構成方法は、今まで提案されたスキームを包括的に導出することが可能であることを示すとともに、自由エネルギーフォームをもつ他諸問題にも適用可能な一般的方法である。
　この計算スキームを、様々なMOSFET構造で評価し、その数値安定性と精度について良好な数値実験結果を得た。これによって、現在、半導体産業において、世界的に広く用いられている古典的ドリフト-拡散方程式に基づく半導体素子設計モデルを量子ドリフト-拡散方程式に基づくモデルに置き換えることが可能になり、大規模素子設計モデルの中核的計算モデルを提供することが可能になると考えられる。

４．３　ナノ領域FETのシミュレーション手法とその応用に関する研究

　量子ドリフト-拡散モデルがナノスケールMOS設計モデルとして機能するためには、デバイス物理の整合性、数値安定性、新しい素子構造への応用を調べていく必要がある。
　今後重要となるFET構造にダブルゲートMOSFET構造がある。この構造を、今回開発した離散スキームに基づく計算モデルによってシミュレーションし、量子閉じ込めを伴う電子輸送現象の解析を行った。
　4nm幅のダブルゲートMOSFET構造において、高ゲートバイアス下においても、反転層領域は一つにマージされること、高ドレインバイアス下においては、量子閉じ込め効果が弱まることをシミュレーション手法によって明らかにした。

４．４　偏微分方程式の保存・散逸則を再現する数値計算法に関する研究

　応用数理学、社会学、生命学等の様々な研究分野におけるこれまでの研究の結果、非線型性の本質的な重要性が認識されつつある。こうした中、コンピュータ実験科学部門では複雑な現象を記述する非線形高階偏微分方程式の非線型性を本質的にとらえたまま計算する数値計算法の研究を行っている。
　非線型偏微分方程式を数値的に計算しようとする場合は通常は(非)線形安定性解析に基づいて離散パラメータを制御する。しかし、パラメータ制御による手法が本質的に無効である場合も少なくない。
　そこでわれわれは非線型偏微分方程式の多くはエネルギー保存性や組成保存性などの保存則や散逸則を要請されるものが多いことに着目し、それらを厳密に満たすように計算手法を構成する方法論をとる。同様の方法論にEnergy method や TotalVolume、Symplectic スキームなどが知られているが、適用範囲は限られており、新しい方法論が常に必要とされている。そこで、偏微分方程式解に対する Lyapunov 関数を離散的に構成するアイディアに基づいて離散変分法というスキーム構成法を提案した。
　この研究は徐々に深まりつつあり、適用範囲は Hamilton 系を含むエネルギー保存系や Fujita-typ 爆発問題系、粘菌の挙動を記述する Keller-Segel 系などの連立偏微分方程式系、非線形 Schroedinger 問題などの複素問題等に広がっている。
　さらに、スペクトル法などのより一般化された離散化概念を用いることも可能であることも判明し、より抽象的な概念に結び付く可能性を示唆している。また、Cahn--Hilliard 方程式や Eguchi-Oki-Matsumura 方程式などのいくつかの方程式に対しては導出された差分スキームの安定性、解の一意存在性、収束性等を数学的な証明を与えた。
さらに、非線形性が多項式で表現されるような場合は time-multistage 化と呼ばれる手法により非線形性のオーダを下げられることに注目し、離散変分法と組み合わせることにより、安定かつ線型な差分スキームを構成できる可能性があることを見いだした。 Time-multistage 化は非常に強い数値不安定性を伴うため通常は利用できないが、離散変分法のもたらす安定化効果の方が支配的な差分スキームを構成できれば、安定性と線形性の両方が同時に実現できるのである。このアイディアに基づき、先にあげた Cahn-Hilliad 方程式や Eguchi-Oki-Matsumura 方程式に対して実際に線型かつ無条件安定な差分スキームを構成し、その性質を数学的に証明することにも成功した。
以上の結果はこの手法の有効性を具体的に示すものであり、これからの研究が待たれる。

４．５　変分原理に基づく蛇行流問題の数理モデルに関する研究

　河川工学、流体輸送などの分野において、流体の蛇行の理解、制御は非常に重要な問題であるため、これまで多くの研究がある。これらは、実測/実験によるデータ収集をはじめとして、侵食/堆積を中心とした素過程を数式化することによる数理モデリングや、これらの素過程を積分した結果をCellular-Automata に基づいて構成した数理モデリングなどがあり、これらのモデリングに基づいた数値計算結果との比較なども良好な結果を示している。
しかし、これまでの実験で、堆積過程の存在しない氷河上や、侵食過程と堆積過程との両方が存在しないガラス表面上でも流体が蛇行することが確かめられている。これは、これまでの数理モデルが根本的に適用できない状況においても流体の蛇行現象が起きることを意味する。つまり、蛇行現象はこれまでの「侵食/堆積といった素過程を積み重ねる」ことのみによって理解出来る現象ではなく、より大きな共通構造を数理的にモデリングする必要があることをこの事実は示唆している。人工的な流体輸送においても侵食/堆積といった素過程は存在しない場合があるため、この共通構造の理解は実用面からも要求される大きな課題である。
　この現状に対し、素過程を積み重ねるという粒度の細かい議論ではなく、系の自由エネルギーの変化に伴う現象であるという粒度の大きな議論を行うことで数理モデリングを構成し、解析する研究を行っている。これは、局所自由エネルギーが流体の速度と加速度に依存するとし、速度に依存する項が極小点をもち、かつ、加速度に対しては単調に増加する項をもつという系を考え、この系の全自由エネルギーが単調に減少するような自然な偏微分方程式系を想定することで数学的に非常に自然に行える。これにより、系の時間発展に伴うエネルギー変化が自然に導出できるとともに、その局所的変動により応力の発生などが計算できるという利点がある。
　現在はこのモデリングによる計算モデルの構築とその計算結果の解析に取り組んでいる。

５．　社会貢献に関する業績

５．１　教育面における社会貢献

5.1.1　学外活動

５．２　研究面における社会貢献

5.2.1　学会活動

５．３　研究プロジェクト活動

現在、以下の研究プロジェクトに参画している。

(1) 文部科学省　科学研究費補助金　基礎研究(B)　“保存則系の粘性及び緩和モデルの時間大域解とその漸近挙動に関する研究”（平成15～18年度）分担

(2)文部科学省　21世紀COEプログラム　“究極と統合の新しい基礎科学”（平成15～18年度）（第３班　原理の追求）分担

（以上、小田中、降旗）

(3)文部科学省　科学研究費補助金 若手研究(B) “非線形偏微分方程式の大域的性質を保存する数値解法導出のための離散変分法の研究” （平成15～17年度） 研究代表者

(4) 文部科学省　科学研究費補助金 基盤研究(C) （企画調査） “反応拡散系理論と流体理論の融合により展開される新しい非線形問題の調査”（平成15年度） 分担

(5) 文部科学省　科学研究費補助金 基盤研究(B)（一般） “力学系の保存性・安定性とその数値解析の研究”（平成15～17年度） 分担

(6) 文部科学省　科学研究費補助金 基盤研究(C) （企画調査） “応用数学の日本・イタリア研究集会のための企画調査研究”（平成15年度） 分担

（以上、降旗）

2003年度研究発表論文一覧

学会論文誌
(1)S.Odanaka, “Multidimensional discretization of the stationary quantum drift-diffusion model for ultra-small MOSFETs,” IEEE Transactions on Computer-Aided Design of ICAS, to be published in June, 2004.

(2)F.Huang, H.-L. Li, A.Matsumura, and S.Odanaka, “Well-posedness and stability of multi-dimensional quantum hydrodynamics in whole space, reprint, 2003.

(3)T.Matsuda, T.Ohzone, S.Odanaka, N.Koike, and K.Tatsuuma, “A　test structure for spectrum analysis of hot-carrier-induced photoemission from MOSFETs”, IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing, Vol.16, No.2, pp.233-238, May, 2003.

国際会議会議録
(1) Daisuke Furihata, “FDMs defined through discrete variational derivative to inherit integration property”, The 5th International Congress on Industrial Applied Mathematics 2003, 2003 July 7-11, in Sydney, AUSTRALIA

口頭発表（国内研究会など）
(1) 小田中紳二,”Existence and numerical approximation of solutions to the stationary quantum drift-diffusion model for semiconductors”, 非線形偏微分方程式阪大セミナー,2003年7月

(2) 降旗 大介, “ポテンシャル論に基づく蛇行流のモデリング”, 日本応用数理学会2003年度年会, 2003年9月

(3) 降旗 大介, “蛇行流とそのモデリング”, 福島大学教育シリーズ講演会, 2004年1月

2003年度特別研究報告・修士論文・博士論文

修士論文
(1) 樋口雄一郎、半導体における量子流体モデルの定常解の解析

(2) 久保陽平、走化性方程式系のエネルギー減少性を保つ差分スキームの構成と解析

卒業研究報告
(1) 小出智士, 高速フーリエ変換/常微分方程式の初期値問題の数値解法

(2) 澤田由紀, 連立1次方程式の反復解法

(3) 田中元太, 非線型方程式の反復法による解法

(4) 山本祐史, 補完法と差分法による数値微分, 多次元数値積分Haselgrove法, 一次元数値積分DE公式の有効性